Mathematik und Kunst

Projekt "MatheKunst", ein Beispiel zur Synthese von Mathematik und Kunst,
erstellt und 2010 veröffentlicht von Andreas K. Heinzelmann

Mit mathematischen Methoden künstlerisch gestaltete, visualisierte Analysen dynamischer Prozesse ( Ljapunow-Diagramme ), die unter dem Einfluss periodischer Störungen chaotisch werden

Vorwort

Die Mathematik hat schon immer Bilder geliefert, z.B. solche geometrischer Objekte oder der Graphen von Funktionen. Künstlerisch bietet sich da aber wenig Gestaltungsspielraum. Geändert hat sich das mit dem Aufkommen der Chaostheorie und der fraktalen Mathematik. Fraktale Kunst berechnet und gestaltet mit Hilfe des Computers vorwiegend Strukturen aus den Bereichen Fraktale Geometrie, Mandelbrotmenge (Apfelmännchen) und Juliamengen. Weniger bekannt sind hingegen die auf Professor Mario Markus zurückgehenden Ljapunow-Diagramme. MatheKunst hat das Anliegen, diesen auf dem Kunstmarkt mehr Aufmerksamkeit zu verschaffen, zumal hier ein größerer Fundus möglicher Strukturen vorliegt als bei den mathematisch einfacher zu handhabenden Mandelbrot- und Juliamengen.

Ljapunow-Diagramme

Hintergrund ist die iterative Berechnung dynamischer Prozesse. Alles was sich in der Zeit verändert, gilt als dynamischer Prozess, gleichgültig ob dies nun dem Bereich der Naturwissenschaften, Gesellschaftswissenschaften, Geisteswissenschaften oder Wirtschaftswissenschaften zu zuordnen ist. Iterative Berechnung bedeutet, dass man aus dem Anfangszustand eines Systems die Folgezustände durch wiederholte Anwendung derselben Funktion erhält. Als Beispiel kann man das Wachstum einer Population betrachten, deren Individuenzahl sich von einem Zeitpunkt zum nächsten jeweils durch Anwendung der logistischen Gleichung berechnet. Dies ist ein ordentlicher Vorgang in dem Sinne, dass zwei Populationen, deren Anfangswerte dicht bei einander liegen, auch später sich nicht wesentlich unterscheiden werden. Hängt der Vorgang nun von einem Parameter ab, z.B. der Temperatur in einer Bakterienkultur, so kann der Vorgang chaotisch werden, wenn dieser Parameter durch äußere Einflüsse periodisch zwischen zwei Werten x und y wechselt. Chaotisch heißt hier, dass zwei Populationen mit dicht bei einander liegenden Anfangswerten sich bei gleichen Bedingungen nach einiger Zeit sehr unterschiedlich entwickeln werden.

Der russische Mathematiker A. M. Ljapunow (1857-1918) hat als "Begründer der Theorie der Bewegungsstabilität" (Grabinschrift) ein Verfahren entwickelt, das eine Beurteilung erlaubt, in welchem Ausmaß sich ein dynamisches System ordentlich oder chaotisch verhält, wenn ein Parameter in diesem System gezwungen wird, zwischen zwei Zahlen x und y nach einem bestimmten periodischen Muster zu wechseln. Dieses Verfahren liefert zu jedem solchen Zahlenpaar (x,y) eine Zahl, die Ljapunow-Exponent genannt und üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben Lambda bezeichnet wird. Ist Lambda positiv, so verhält sich das System chaotisch, bei negativem Lambda ordentlich. Jedes Zahlenpaar (x,y) kann als Punkt in einer Ebene mit zwei Koordinatenachsen gedeutet werden. Geht man nun von einem Punkt (x,y) bei positivem Lambda um den Betrag von Lambda nach oben oder bei negativem Lambda um den Betrag von Lambda nach unten, so erhält man einen durch das Zahlentripel (x,y,Lambda) eindeutig bestimmten Punkt im dreidimensionalen Raum. Betrachtet man alle Punkte (x,y) in einem rechteckigen Ausschnitt der Ebene, so bildet die Menge aller zugehörigen Punkte (x,y,Lambda) eine irgendwie geformte Fläche im Raum über und unter dieser diesem Ausschnitt.

Diese Situation ist vergleichbar mit einer topografischen Landkarte. Diese bildet einen rechteckigen Ausschnitt der Erdoberfläche ab. Zu jedem Punkt in der Karte, gekennzeichnet durch das Zahlenpaar (geografische Länge, geografische Breite) gehört auch hier eine weitere Zahl, nämlich die Höhe h über dem Meeresspiegel. Die Menge aller Zahlentripel (Länge, Breite, h) stellt dann die Erdoberfläche als räumliches Objekt dar. Ein übliche topografische Karte erhält man dann, wenn jedem Wert von h eine Farbe zugeordnet wird. Mit zunehmender positiver Höhe h geht man von einem dunklen Grün für die Niederungen über ein helleres Grün, helles Braun und schließlich dunkles Braun über zu den höchsten Bergen, wobei meist auch noch ein Schattenwurf eingearbeitet wird. Für negative Höhen h, also den Meeresboden, geht man von einem hellen Blau über zu einem dunklen Blau für die großen Tiefen.

Ein Ljapunow-Diagramm ist nun nichts weiter als eine topografische Karte der durch die oben genannten Zahlentripel (x,y,Lambda) gebildeten Fläche im Raum. Jedem der Zahlenpaare (x,y) wird in Abhängigkeit von Lambda eine Farbe zugeordnet. In dem Ausmaß, wie man die Kunst behrrscht, den Zahlen Lambda Farben zu zuordnen, kann aus dem Ljapunow-Diagramm ein Kunstwerk werden.

Mein Programm

Am Anfang steht die Wahl einer geeigneten Iterationsfunktion und eines rechteckigen Ausschnitts der x-y-Ebene. Um ein Ljapunow-Diagramm im Format DIN A1 zu entwickeln, wird dieses Rechteck durch 11353 x 7852 = 89143756 Bildpunkte repräsentiert und zu jedem Punkt (x,y) der Ljapunow-Exponent Lambda berechnet. Für dieses Zahlenfeld werden 850 MByte Arbeitsspeicher benötigt. Zur Berechnung jedes einzelnen der über 89 Millionen Lambda-Werte werden je nach gewünschter Eigenschaft des Bildes 1000 bis 20000 Iterationsschritte, d.h. Funktionswertberechnungen durchgeführt. Insgesamt benötigt ein üblicher PC dafür gegenwärtig eine Rechenzeit von einigen Tagen (1995 waren dafür noch einige Wochen notwendig).

Jeder der 11353 x 7852 Punkte wird nun entsprechend dem zugehörigen Wert von Lambda eingefärbt. Entscheidend für die Möglichkeit künstlerischer Gestaltung ist das im Programm bereitgestellte Instrumentarium, um den Zahlen Lambda Farben zu zuordnen. Dazu wird zunächst eine statistische Grafik erstellt aus der ersichtlich wird, welche Zahlen für Lambda überhaupt vorkommen. Der Zuordnungsprozess zwischen den Zahlen und den Farben kann wegen der ungeheuren Anzahl von Lambda-Werten und des verwendeten Farbraumes von 16 Millionen Farben natürlich nicht irgendwie von Hand vorgenommen werden. Daher muss hierfür ein Instrumentarium auswählbarer und transformierbarer Funktionen geschaffen werden, die diese Zuordnung so leisten, dass hier künstlerische Gestaltungsmöglichkeiten entstehen. Konkret wird dies mit der Gesamtheit aller Potenz- und Wurzelfunktionen bewerkstelligt und es wird dabei folgendes gesteuert:

1) Eine mögliche Segmentierung des Vordergrundes, der sich für negative Werte von Lambda ergibt und den Bereich der Ordnung darstellt.
2) Nach der Festlegung von 2 Farben für das erste und letzte Segment die Farbübergänge innerhalb jedes Segmentes und die Farbübergänge von Segment zu Segment.
3) Nach der Festlegung von 2 Farben deren Bereiche und Übergänge für den durch positive Werte von Lambda gekennzeichneten chaotischen Hintergrund.

Ferner kann der Punkt des Überganges zwischen Vorder- und Hintergrund verschoben sowie der Hintergrund von Lambda entkoppelt und separat durch mathematische Strukturen gestaltet werden. Dies kann sich unter künstlerischen Gesichtspunkten als wünschenswert erweisen, da der Hintergrund als Bereich des Chaos oft wenig strukturiert und damit auch wenig gestaltbar ist.

Der ursprünglich gewählte rechteckige Ausschnitt der in alle Richtungen unendlich ausgedehnten x-y-Ebene ist nun irgendein Bild - das aber noch lange nicht gefallen muss. Daher ist es nun möglich, innerhalb dieses Bildes einen rechteckigen Ausschnitt zu wählen, diesen neu auf die ursprüngliche Größe umzurechnen (also zu vergrößern), und dies beliebig oft zu wiederholen, bis man ein inspirierendes Motiv gefunden hat. Anders gesagt: man kann auf der Suchen nach Motiven beliebig tief hineinzoomen - oder noch anders gesagt: alles mit beliebiger Vergrößerung unter dem Mikroskop betrachten und dabei auf Entdeckungsreise gehen.

Interessant ist an vielen Bildern, dass im Bereich der Ordnung (Vordergrund) scharfe Schnitte, Durchbrüche, Unschärfen und Einbrüche des Chaos auftreten, welche die Vollkommenheit der Ordnung stören. Dies ist ein wesentlicher Charakter dieser chaosanfälligen dynamischen Systeme und damit der Natur. Aus aktuellem Anlass sei darauf verwiesen, dass auch das Klima ein durch Störungen chaosanfälliges dynamisches System ist.

Das von mir geschriebene Delphi-Programm umfasst 1630 Zeilen zu je durchschnittlich 100 Zeichen.